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高2020届高2017级高三文科数学三维设计一轮复习课时跟踪检测(七十一) 数系的扩充与复数的引入

第1页共4页 课时跟踪检测(七十一) 数系的扩充与复数的引入 1.(2019·广州五校联考)?11+-2i?i2=( ) A.-1-12i B.1+12i C.-1+12i D.1-12i 解析:选 C ?11+-2i?i2=1-+22ii=?1+22i?i=-22+i=-1+12i,选 C. 2.(2018·洛阳第一次统考)已知 a∈R,i 为虚数单位,若a1- +ii为纯虚数,则 a 的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:选 C ∵a1- +ii=??a1-+ii????11--ii??=a-2 1-a+2 1i 为纯虚数,∴a-2 1=0 且a+2 1≠0,解得 a =1,故选 C. 3.(2018·甘肃诊断性考试)如图所示,向量―O→Z1,―OZ→2所对应的复数分 别为 z1,z2,则 z1·z2=( ) A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i 解析:选 A 由图可知,z1=1+i,z2=3-i, 则 z1·z2=(1+i)(3-i)=4+2i,故选 A. 4.若复数 z1=4+29i,z2=6+9i,其中 i 是虚数单位,则复数(z1-z2)i 的实部为( ) A.-20 B.-2 C.4 D.6 解析:选 A 因为(z1-z2)i=(-2+20i)i=-20-2i,所以复数(z1-z2)i 的实部为-20. 5.(2019·太原模拟)若复数 z=11++mi i在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范 围是( ) A.(-1,1) B.(-1,0) C.(1,+∞) D.(-∞,-1) 解析:选 A 法一:因为 z=11++mi i=?1?1++mi?i??1?1--i?i?=1+2 m+m-2 1i 在复平面内对应的点 第2页共4页 ??? 为??1+2 m,m-2 1??,且在第四象限,所以 1+2 m>0, m-2 1<0, 解得-1<m<1,故选 A. 法二:当 m=0 时,z=1+1 i=?1+1i-??1i-i?=12-12i,在复平面内对应的点在第四象限,所以排 除选项 B、C、D,故选 A. 6.(2018·昆明高三摸底)设复数 z 满足(1+i)z=i,则 z 的共轭复数 z =( ) A.12+12i B.12-12i C.-12+12i D.-12-12i 解析:选 B 法一:∵(1+i)z=i,∴z=1+i i=?1+i?1i?-?1i-? i?=1+2 i=12+12i, ∴复数 z 的共轭复数 z =12-12i,故选 B. 法二:∵(1+i)z=i,∴z=1+i i=2?12+i i?=2?1?1++i?i2?=1+2 i=12+12i, ∴复数 z 的共轭复数 z =12-12i,故选 B. 法三:设 z=a+bi(a,b∈R),∵(1+i)z=i,∴(1+i)(a+bi)=i,∴(a-b)+(a+b)i=i,由复数 相等的条件得???a-b=0, ??a+b=1, 解得 a=b=12,∴z=12+12i,∴复数 z 的共轭复数 z =12-12i,故选 B. 7.设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i(i 是虚数单位),则复数 z 对应的点位于复平面内( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选 A 由 i(z+1)=-3+2i,得 z=-3i+2i-1=3i2+i 2i-1=2+3i-1=1+3i,它在 复平面内对应的点为(1,3),位于第一象限. 8.已知复数 z=1m+ii,z·z =1,则正数 m 的值为( ) A. 2 B.2 C. 2 2 D.12 解析:选 A 法一:z=1m+ii=?1m+i?i1??-1-i?i?=m2 +m2 i, z =m2 -m2 i,z·z =m22=1,则正数 m = 2,故选 A. 第3页共4页 法二:由题意知|z|=|1|m+i|i|=|m2|,由 z·z =|z|2,得m22=1,则正数 m= 2,故选 A. 9.已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则ab的值为________. 解析:因为(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a, 所以???1+b=a, ??1-b=0. 解得???b=1, ??a=2, 所以ab=2. 答案:2 10.复数|1+ 2i|+???1-1+i3i???2=________. 解析:原式= 12+? 2?2+?1?-1+i3?i2?2= 3+-2-2i2 3i= 3+i- 3=i. 答案:i 11.(2019·重庆调研)已知 i 为虚数单位,复数 z=12++3ii,复数|z|=________. 解析:法一:因为 z=12++3ii=??12++3ii????22--ii??=5+5 5i=1+i,所以|z|= 12+12= 2. 法二:|z|=???12++3ii???=|1|2++3i|i|= 10= 5 2. 答案: 2 12.已知复数 z=?1-3+3ii?2, z 是 z 的共轭复数,则 z·z =________. 解析:∵z=?1-3+3ii?2=-2-3+2 i 3i =-2?13++i 3i?=-?2?13++i?3?1i?-?1-3i?3i? =2 -3-8 2i=- 43+14i, ∴z·z =|z|2=136+116=14. 答案:14 13.计算:(1)?-1+ii3??2+i?; (2)?1+2i?22++i3?1-i?; (3)?11+-ii?2+?11-+ii?2; 第4页共4页 1- 3i (4)? 3+i?2. 解:(1)?-1+ii3??2+i?=--3+i i=-1-3i. (2)?1+2i?22++i3?1-i?=-3+24+i+i 3-3


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