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高2020届高2017级第一轮复习文科数学全套配套课时跟踪检测(六十三) 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题_图文

第1页共1页 课时跟踪检测(六十三) 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 1.(2019·贵阳适应性考试)已知椭圆 C:xa22+by22=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, 点 M 为短轴的上端点,M―→F1·M―→F2=0,过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,且|AB|= 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点(2,-1)且不经过点 M 的直线 l 与 C 相交于 G,H 两点.若 k1,k2 分别为直线 MH,MG 的斜率,求 k1+k2 的值. 解:(1)由M―→F1·M―→F2=0,得 b=c. ① 因为过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,且|AB|= 2, 所以ba2= 2 2, ② 又 a2=b2+c2, ③ 联立①②③,解得 a2=2,b2=1, 故椭圆 C 的方程为x22+y2=1. (2)易知直线 l 的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y+1=k(x-2),即 y=kx-2k-1, 将 y=kx-2k-1 代入x22+y2=1 得(1+2k2)x2-4k(2k+1)x+8k2+8k=0, 由题设可知 Δ=-16k(k+2)>0, 设 G(x1,y1),H(x2,y2), 则 x1+x2=4k1+2k2+k21,x1x2=81k+2+2k82k, k1+k2= y1x-1 1+ y2x-2 1=kx1-x21k-2+kx2-x22k-2= 2k+2×4k1+2k2+k21 2k- 8k2+8k =2k- (2k 1+2k2 +1)=-1, 所以 k1+k2=-1. 2.(2018·贵阳摸底考试)过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,且|AB|=8. (1)求直线 l 的方程; (2)若 A 关于 x 轴的对称点为 D,求证:直线 BD 过定点,并求出该点的坐标. 解:(1)易知点 F 的坐标为(1,0),则直线 l 的方程为 y=k(x-1),代入抛物线方程 y2=4x 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 第1页共1页 由题意知 k≠0,且 Δ=[-(2k2+4)]2-4k2·k2=16(k2+1)>0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=2kk2+2 4,x1x2=1, 由抛物线的定义知|AB|=x1+x2+2=8, ∴2kk2+2 4=6,∴k2=1,即 k=±1, ∴直线 l 的方程为 x+y-1=0 或 x-y-1=0. (2)证明:∵D 点的坐标为(x1,-y1),直线 BD 的斜率 kBD=xy22+-yx11=yy4222+ -yy4211=y2-4 y1, ∴直线 BD 的方程为 y+y1=y2-4 y1(x-x1), 即(y2-y1)y+y2y1-y21=4x-4x1, ∵y21=4x1,y22=4x2,x1x2=1, ∴(y1y2)2=16x1x2=16, 即 y1y2=-4(y1,y2 异号), ∴直线 BD 的方程为 4(x+1)+(y1-y2)y=0,恒过点(-1,0). 3.(2019·西安八校联考)已知直线 l:x=my+1 过椭圆 C:xa22+by22=1 的右焦点 F,抛物线 x2=4 3y 的焦点为椭圆 C 的上顶点,且 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,点 A,F,B 在直线 x=4 上的射 影依次为 D,K,E. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 交 y 轴于点 M,且―M→A =λ1―A→F ,―M→B =λ2―B→F ,当 m 变化时,证明:λ1+λ2 为定值; (3)判断当 m 变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点?若是,请求出定点的坐标,并给予证 明;否则,说明理由. 解:(1)∵l:x=my+1 过椭圆 C 的右焦点 F, ∴右焦点 F(1,0),即 c=1. ∵x2=4 3y 的焦点(0, 3)为椭圆 C 的上顶点, ∴b= 3,即 b2=3,a2=b2+c2=4, ∴椭圆 C 的方程为x42+y32=1. (2)证明:由题意知 m≠0,由x3=x2+my4+y2-1,12=0 消去 x,整理得(3m2+4)y2+6my-9=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=-3m62m+4,y1y2=-3m29+4. 第1页共1页 ∵―M→A =λ1―A→F ,―M→B =λ2―B→F ,M0,-m1 , ∴x1,y1+m1 =λ1(1-x1,-y1),x2,y2+m1 =λ2(1-x2,-y2), ∴λ1=-1-m1y1,λ2=-1-m1y2, -6m ∴λ1+λ2=-2-ym1+y1yy22=-2-3-m29+m4=-83. 3m2+4 综上所述,当 m 变化时,λ1+λ2 为定值-83. (3)当 m=0 时,直线 l⊥x 轴,则四边形 ABED 为矩形,易知 AE 与 BD 相交于点 N52,0, 猜想当 m 变化时,直线 AE 与 BD 相交于定点 N52,0,证明如下: ―A→N =52-x1,-y1=32-my1,-y1, 易知 E(4,y2),则―N→E =32,y2. ∵32-my1y2-32(-y1)=32(y1+y2)-my1y2=32-3m62m+4-m-3m29+4=0, ∴―A→N ∥―N→E ,即 A,N,E 三点共线. 同理可得 B,N,D 三点共线.则猜想成立. 故当 m 变化时,直线 AE 与 BD 相交于定点 N52,0. 4.(2018·石家庄质测)已知椭圆 C:xa22+by22=1(a>b>0)的离心率为23 2,左、右焦点分别 为 F1,F2,过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点. (1)若以 AF1 为直径的动圆内切于圆 x2+y2=9,求椭圆的长轴长; (2)当 b=1 时,问在 x 轴上是否存在定点 T,使得―T→A ·―T


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