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武大电动力学课件1.1基本

一.库仑定律和电场散度

1 库仑定律
q1
? r12
q2

? q1q2 ? F ?k? 3 r r12

1).常量取决于单位制 Gauss单位制:F=1达因 r12 ? 1cm

取k ? 1, q1 ? q2 ? 1静电库伦
SI单位制:
dq I? ( A) dt
k? 1 4?? 0

2).适用范围尺度

10 ? ?10
9

?15

cm

3).准确的*方反比实验定律 ?2 ?16 r 的指数误差在? 10 量级。 4).推广大到电荷连续分布 ? 2 V2 ?1 V1
? dF ? ? F ? 1 4?? 0
V1 V2

? 1

? 1 dV1 ? ? 2 dV2
r
3

? ?r

? ?

4?? 0

? r ? 1 ? 2 dV1 dV2 ? 3 r

5) ? ? E ? x, y , z ? ?

? r qi 1 1 ? r 3 ? 4?? 4?? 0 i i 0 ? 1 ?r d? ? ?S r 3 4?? 0 r ? ?x ? x

? E与电荷的关系

?

V

? r ?dV 3 r

?

' 2

? ? ?y ? y ? ? ?z ? z ? ?
' 2

2 12 '

场点? x, y, z ? ? 源点 x , y , z ??
? r ' '

?

'

?

dq ? x ,y ,z ? dV dq ' ' ' ? x ,y ,z ? d? ? 由?分布可得E , ? E 具有迭加性。
' ' '

?

?

?

?

2.高斯定理和电场散度
1) ? Gauss定理 0 ? ? ? 0 ? E ? d? ?
S

?? S内无净电荷

?q
i

i

q

s内有净电荷总量 q

? ?在极高的对称性 体系中可用于求 E分布`。

?

V

?dV

?

2).电场散度(Gauss定理的微分形式)
? ? ? ?S E ? d? ? ?V? ? EdV ? ? ? ? 0 ? E ? d? ? ? 0 ? ? ? EdV ? ? ?dV
S V V

区域V任意,必有 ? ? ? ? E ? ???电场散度方程

?0

带电粒子: ? E 静
q
止 q

? E

运动

? V

各 向 同 性

? (电力线)向垂直于V 的方向 集中; 库伦定律不适用。

二.Faraday电磁感应定律和电场的旋度 1. Faraday电磁感应定律
d? ? ?? dt 其中: ? ?? 磁通量   ? ??电动势

? ??

L

? ? E ? dl  

? ? ? ? ? B ? d?
S

? ? d ? ? E ? dl ? ? ? B ? d? ?L dt S
利用Stokes公式 ? ? ? ? E ? dl ? ? ? ? E ? d? ?
L S

? d ? ? ? ? ? E ? d? ? ? ? B ? d? ?S dt S

设回路:刚性、静止
d ? ? ? ? ?t dt ? ? ? ? ? ?S ? ? E ? d? ? ?S ? ?t B ? d? ? ? ?B 因为L, S任意,必有:? ? E ? ? ?t ? ? 空间某一点E、B之间的关系。

2.Maxwell的推广

? ? ?B ?? E ? ? ?t

————电场的旋度方程

随时间变化的磁场产生 随时间变化的电场。

3.两种特殊情况
1).稳定场 无旋场,保守场,有势场,梯度场,纵场 ?

??E ? 0 ? E ? ??? 电势:? ? r ? ? ? ? ? E ? dl ? ? 0
r0

? 0 是 r0 点的电势,
若 ? 0 ? 0,则 r0 是参考点。

点电荷:以 1

r ? ? 为 参考点

q ?? 4?? 0 r

??

1 4?? 0

?

?
r

V

dV

2).回路以V速运动

? ? ? F ? qV ? B ? ? ? ? E ? F q ?V ?B ? ? ? ? ? E ? dl ? ? V ? B ? dl ?
L L

? ? ? ? ?B ? ? ? ? V ? B ? dl ? ? ? d? L S ?t
动 生 电 势 感 生 电 势

? ? ? ? ?B ? ? E ? ? ? ?V ? B ? ? ?t

三.电荷守恒定律 ? 1.电流密度矢量 j ?x, y, z ?

? j ? x, y, z ? ? dI d? cos? ? ? ? d? j ? ? N i qiVi
i

? j

?

? N i , qi , Vi 分别是第 i种载流子 密度 , 电量,速度。

面电流密度?

?

?

?

? dI ? lim j dh ? dl sin ?
dh? 0

电流强度:I ?

?

S

? ? j ? d?

I ? ? ? dl L ? ? ? ? ? 是? ? dl 的分量

2.电荷守恒律
电荷(电流)连续方程 任意区域V
? j

V S

d?

?

公式推导
I ? ??
S

? ? j ? d?

dq d 另: I ? ? ? ?dV dt dt ? d ? ?V ?dV ? ? ?S j ? d? dt d ? ? ? dt ? ?t

d ? ? ? ?V ?? dt ?t ? ? ? 又 ? ? ?dV ? ? ? j ? d? V ?t S ? ? ? ? ? ? j dV
V

区域 V任意 ? ?? ?? ? j ? ?0 ?t 电流连续方程

3.两个特殊情况
a. 稳定 ?? ?0 ?t b. 全空间 ? ?? j ? 0

? d ? ?V ?dV ? ? ?S ?? j ? d? ? 0 dt 全空间电荷不随时间改 变。

四.毕—沙定律和磁场的散度
1.Biot---Savant定律

? ?0 F? 4? r?

??

V1 V2

? ? ? j 2 ? ? j1 ? r ? dV1 dV2 3 r
2

?x2 ? x1 ?

? ? y 2 ? y1 ? ? ?z 2 ? z1 ?
2

2

dV1 ? dx1 dy1 dz1 dV2 ? dx2 dy2 dz2

V1

? j1

dV1

? r

V2
dV2

? j2

r?

?x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ?z2 ? z1 ?
2 2

2

? ?0 B ? x, y , z ? ? ?V1 4? ? ? ? F2 ? ? j2 ? BdV2
V2

? ? j1 ? r dV1 3 r

对于电流线圈: ? ? j dV ? Idl ? ? ? ? 0 Idl ? r B? ?L r 3 4?

2.静磁场的散度
? ?0 ? ? B ? x, y , z ? ? ? ? 4? ?V ? ? ? ? ? ? ? ? ex ? ey ? ez ?x ?y ?z r?
' 2 ' 2

? ' ' ' ? j x , y ,z ?r dV ' 3 r

?

?

? ? ? ?0 j ?r ??B ? ? ? ? r 3 dV ' 4?

?x ? x ? ? ?y ? y ? ? ?z ? z ?

' 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? f ? g ? ? ? f ? g ? f ? ?? ? g ? ? ? ? r ? f ? j g? 3 r ? ? ? ? ? r ?? r ? r ?? ? ? j ? 3 ? ? 3 ? ? ? j ? j ? ? ? 3 r ? r r ?

?

? ?

?

? ' ' ' ?? j x , y ,z ? 0 ? r 1 ? ?? 3 r r ? r 1 ? ? 3 ? ?? ? ? ? 0 r r ? ?? r ? ?? ? ? j ? 3 ? ? 0 r ? ? ? ?? ? B ? 0 ? 无磁荷 , m ? H , q 无磁单极。

?

?

五.安培环路定理和磁场旋度 ? ? ? ? B ? dl ? ? 0 ? j ? d? ?L S ? ? ? ? ? ? B ? dl ? ? ? ? B ? d ? ? ? 0 ? j ? d? ?L S S ? ? ?L, S任意 ? ? ? ? B ? ?0 j

表明空间某点电磁场强度和电流的关系, 有旋场,磁力线必闭合。

六. Maxwell方程组
1.各实验定律的适用范围 1).微分形式

? ? ??E ?

? ? ?B ?? E ? ? ?t

?0

? ??B ? 0 ? ? ? ? B ? ?0 j

2).积分形式
? ? 1 ? E ? d? ?
S

? ? ? ?B ? E ? dl ? ? ? ? d? ?L S ?t ? ? ?SB ? d? ? 0 ? ? ? ? ? B ? d l ? ? 0 ? j ? d?
L s

?0

?

V

?dV

点电荷
静止: 运动: ? 1 E动 ? 4?? 0 ? E? q ? r 3 4?? 0 r 1 q 1?V ? 2 ? 1?V ? ?

?

2

? c r
2 3 2

?

?

? ? 2? ?V ? r ? 2 2 c r ?? 2 ? ? ? c ? ? ? ? ?

?

磁场:
ⅰ.

稳恒磁场:

? ? ? ? B ? ?0 j ? ????B ? 0 ? 稳恒情况下 ? ?? ? j ? 0

ⅱ.不稳定磁场
? ?? ?? j ? ? ?0 ?t ? ? ? ? ? j ? jD ? ? 0 ? ? ?? ? ? ? j D ? ?? ? j ? ?t ? ? ? ? 0? ? E ? ? ? ? ? jD ? ? ? ?0E ?t

比较两边可得 ? ? ? jD ? ? 0 E 位移电流 ?t ? ? ? ?E ? ? B ? ? 0? 0 ? ?0 j ?t 随时间变化的电场可以产生磁 场

⒉Maxwell方程组
⑴微分形式
? ? ??E ?

? ?? E ? ??B ? ? ? ?E ? ? B ? ? 0? 0 ? ?0 j ?t

? ?B ?? ?t ?0

?0

2) 积分形式
? 1 ? ? E ? d? ?
S

?0

?

V

?dV

? ? ?L E ? dl ? ? ?S ? ? ? B ? d? ? 0
S

? ?B ? ? d? ?t

? ? ? ? ?E ? ? ?LB ? dl ?? 0? 0 ? ?t ? d? ? ? 0 ?S j ? d? ? ? E , B 满足波动方程 故必存在电磁波

七.洛伦兹力密度公式
实验定律: ? ? Fe ? qE ? ? ? FB ? j dl ? B

? 推广:带电体 V运动, v , ? ? ? ? ? dF ? ?EdV ? j dV ? B ? ? ? ? ? dF 力密度: ? f ? ?E ? j ? B dV ? ? 注意: E , B是总场




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