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01-第一章 质点运动学*题解答

第一章 质点运动学

1-1.质点的曲线运动中,下列各式表示什么物理量?

dr dt



dr dt

ds ; dt

dr ; dt



dr dt



d 2r dt 2



dv dt



dv 。 dt

解:1-2.设质点的运动方程为 x

? x(t ); y ? y(t )
dr v? dt


。在计算质点的瞬时速度和瞬时加速度时,有人先求



r? x ?y
2

2

,然后再根据

d 2r a? 2 dt

求解。也有人用分量式求解,即

v? (

d x 2 d y 2 ) ?( ) dt dt

和a

? (

d 2x 2 d2y 2 ) ? ( ) dt 2 dt 2

,问哪种方法正确?

解:第二种方法正确 1-3. 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为 x

? 2 ? 6t 2 ? 2t 3 ,式中x

的单位为m,t 的单位为

s.求:(1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小;(2) 质点在该时间内所通过的路程;(3) t=4 s时质点的速度和加速度.

解: (1) 质点在4.0 s内位移的大小 Δx

? x4 ? x0 ? ?32 m

(2)



dx ?0 dt

得 知 质 点 的 换 向 时 刻 为

tp ? 2 s

(t = 0 不 合 题 意 )



Δx1 ? x2 ? x0 ? 8.0 m Δx2 ? x4 ? x2 ? ?40 m
所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为 s ? Δx1 ? Δx2 ? 48 m

d2 x dx ?1 ? ?48 m ? s a ? 2 ? ?36 m.s?2 (3) t=4.0 s时 v ? dt t ?4.0 s dt t ?4.0 s
1-4. 质点的运动方程为

x ? ?10t ? 30t 2 y ? 15t ? 20t 2
式中x,y 的单位为m,t 的单位为s.
1

试求:(1) 初速度的大小和方向;(2) 加速度的大小和方向. 解 (1) 速度的分量式为 v x ?

dx dy ? ?10 ? 60t v y ? ? 15 ? 40t dt dt ,

当t =0 时, v0x =-10 m·s-1 , v0y =15 m·s-1 ,则初速度大小为

v0 ? v0 x ? v0 y ? 18.0 m ? s ?1
2 2

设v0与x 轴的夹角为α,则

tanα ?

v0 y v0 x

??

3 2

α=123°41′ (2) 加速度的分量式为

ax ?
则加速度的大小为

dv dv x ? 60 m ? s ?2 , a y ? y ? ?40 m ? s ?2 dt dt

a ? ax ? a y ? 72.1 m ? s ?2
2 2

设a 与x 轴的夹角为β,则

tan β ?

ay ax

??

2 3

β=-33°41′(或326°19′) 1-5.一质点的运动学方程为 x ? t 2 , 试求:(1)质点的轨迹方程: (2)在 t ? 2 s y ? ?t ? 1? (S1)。
2

时,质点的速度和加速度。 解 (1) 由质点的运动方程 x ? t 2 (1) y ? ?t ? 1? 消去参数 t,可得质点的轨迹方程
2

(2)

y ? x ?1

(2) 由(1)、(2)对时间 t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度

vx ?
所以

dx ? 2t dt

vy ?

dy ? 2?t ? 1? dt
(3)

v ? v x i ? v y j ? 2ti ? 2?t ? 1? j
2

ax ?
所以

d 2x ?2 dt 2

ay ?
a ? 2i ? 2 j

d2y ?2 dt 2
(4)

把 t=2s 代入式(3)、(4),可得该时刻质点的速度和加速度。 a ? 2i ? 2 j v ? 4i ? 2 j

? ? R sin ?t? 1-6.已知运动函数为 r ? R cos?ti j (R, ω 为常量),求质点的速度、加速度、切
向加速度和法向加速度。 解:速度: v ?

?

d ? ? ? R? cos ?t? r ? ? R? sin ?ti j dt ? d ? ? ? R? 2 cos ?t? v ? ? R? 2 sin ?ti j 速度大小: v ? R? ,加速度: a ? dt d 2 2 2 2 v ? 0; 加速度大小:a ? R? ,切向加速度:a? ? 法向加速度:an ? a ? a? ? R? dt ?

3 1-7. 质点沿半径为 1m 的圆周运动, 运动方程为 ? ? 2 ? 3t (SI). 求:⑴ t ? 2 s 时, 质 0

点的切向加速度和法向加速度.⑵ 当加速度的方向和半径成 45 角时,角位移是多少? 解: 质点运动的角速度和角加速度分别为:

??
切向加速度: 法向加速度: ⑴当 t ? 2s 时

d? ? 9t 2 dt

??

d? ? 18t dt

a? ?

dv ? r? ? 1? 18t ? 18t dt

an ? r? 2 ? 1? (9t 2 )2 ? 81t 4 a? ? 18t ? 18 ? 2 ? 36m / s 2 an ? 81t 4 ? 81? 24 ? 1296m / s2

⑵ 加速度的方向和半径成 45 时,即 a? ? an , 81t ? 18t , t ?
0 4

3

2 ; 9

此时角位移

? ? ?? ? ?t ? ?0 ? ? 2 ? 3t 3 3 2 ? ? 2 ? 3 ? t 3 ? 0.67rad t? 9 ? ?
?2

1-8. 飞轮半径为 0.4 m,自静止启动,其角加速度为 β =0.2 rad· s ,求 t =2s 时边缘 上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.
?1 解:当 t ? 2 s 时, ? ? ?t ? 0.2 ? 2 ? 0.4 rad ? s 2 2 ?2 ?1 则 v ? R? ? 0.4 ? 0.4 ? 0.16 m ? s an ? R? ? 0.4 ? (0.4) ? 0.064 m ? s

a? ? R? ? 0.4 ? 0.2 ? 0.08 m ? s ?2
2 a ? an ? a?2 ? (0.064) 2 ? (0.08) 2 ? 0.102 m ? s ?2

1-9. 飞机以100 m· s-1 的速度沿水*直线飞行,在离地面高为100 m时,驾驶员要把物品空
3

投到前方某一地面目标处,问:(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远? (2) 投 放物品时,驾驶员看目标的视线和水*线成何角度? (3) 物品投出2.0s后,它的法向 加速度和切向加速度各为多少?

解: (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水*和竖直方向的运动方程分别为

x =vt, y =1/2 gt2
飞机水*飞行速度v=100 m·s-1 ,飞机离地面的高度y=100 m,由上述两式可得目标在飞机 正下方前的距离 x ? v

2y ? 452 m g
y ? 12.5o x

(2) 视线和水*线的夹角为 θ ? arctan

(3) 在任意时刻物品的速度与水*轴的夹角为 α ? arctan

vy vx

? arctan

gt v

取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为

gt ? ? at ? gsin α ? gsin ? arctan ? ? 1.88 m ? s ?2 v? ? gt ? ? an ? gcos? ? gcos? arctan ? ? 9.62 m ? s ?2 v? ?
1-10 一质点沿半径为 0.10m 的圆周运动,其角位置(以弧度表示)可用公式表示: θ = 2 + 4t3.求: (1)t = 2s 时,它的法向加速度和切向加速度; (2)当切向加速度恰为总加速度大小的一半时,θ 为何值? (3)在哪一时刻,切向加速度和法向加速度恰有相等的值? 解: (1)角速度为 ω = dθ/dt = 12t2 = 48(rad· s-1),法向加速度为 an = rω2 = 230.4(m· s-2);角加速度为 β = dω/dt = 24t = 48(rad· s-2),切向加速度为 at = rβ = 4.8(m· s-2). (2)总加速度为 a = (at2 + an2)1/2,当 at = a/2 时,有 4at2 = at2 + an2,即 an ? at 3 由此得 r? 2 ? r ? 3 ,即

(12t 2 )2 ? 24t 3 ,解得

t3 ? 3 / 6 .

4

所以 ? ? 2 ? 4t 3 ? 2(1 ? 3 / 3) =3.154(rad). (3)当 at = an 时,可得 rβ = rω2, 即: 24t = (12t2)2,解得 : t = (1/6)1/3 = 0.55(s). 1-11. 一物体沿 x 轴运动, 其加速度与位置的关系为 a=2+6x。 物体在 x=0 处的速度为 10 m s , 求物体的速度与位置的关系。 解: a ?

dv dv dx dv ; vdv ? adx ? ?v dt dx dt dx
化简得

对上式两边积分得

? vdv ? ? adx ? ? ?2 ? 6 x ?dx

v ? 6x 2 ? 4x ? c? 由题意知

v

x ?0

? 6 ? 02 ? 4 ? 0 ? c? ? 10

c? ? 100 故物体的速度与位置的关系为 v ? 6 x 2 ? 4x ? 100
1-12.一质点在*面内运动, 其加速度 a ? ax i ? a y j , 且 ax , (1)求 v ? t 和 r ? t a y 为常量。 的表达式;(2)证明质点的轨迹为一抛物线 t=0 时, r ? r0 , v ? v 0 。 解:由 a ?

dv 得 v ? adt dt

两边积分得

? v ? ? adt
v0 0

v

t

因 a x , a y 为常量,所以 a 是常矢量,上式变为 由 v?

v ? v0 ? at

即 v ? v0 ? at

dr dt

得 dr ? vdt ? ?v0 ? at ?dt 两 边 积 分 , 并 考 虑 到 v 0 和 a 是 常 矢 量 ,

? dr ? ? ?v
r t r0 0

0

? at ?dt 即

1 r ? r0 ? v0t ? at 2 2

(2) 为了证明过程简单起见, 按下列方式选取坐标系, 使一个坐标轴(如 x 轴)与 a *行, 并使质点在 t=0 时刻位于坐标原点。 这样

1 x ? c1t ? axt 2 2
c1 ? v0 x

(1)

y ? c2 t

(2)

由前面推导过程知

c2 ? v0 y (3)
2

2 2 v0 x v0 y ? 2v0 ? ? v0 y ? x ? ? ? 联立 (1)~(3)式,消去参数 t 得 ? y ? ? x ? ? ? ? ax ? ax ? 2ax ? ? ?

此即为轨道方程,它为一条抛物线。 1-13. 在重力和空气阻力的作用下,某物体下落的加速度为 a ? g ? Bv ,g 为重力加速度,B 为与物体的质量、形状及媒质有关的常数。设 t=0 时物体的初速度为零。(1)试求物体的 速度随时间变化的关系式;(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值为多大? dv dv ? dt 两边积分,得 ? ? dt 解: (1) 由 a ? dv / dt 得 g ? Bv g ? Bv ? 即 ln(g ? Bv) ? ? Bt ? ln c 由 t=0 时 v=0 得 c=g 所以,物体的速率随时间变化的关系为: v ?
5

g (1 ? e ? Bt ) B

(2) 当 a=0 时 有 a=g-Bv=0 由此得收尾速率 v=g/B 1-14 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向做谐振动,其加速度 a ? ?ky , k 为常数, y 是离开 *衡位置的坐标值。设 y0 处物体的速度为 v0 ,求速度 v 与 y 的函数关系。 解:建立如图坐标,由 a ?

dv dv dy dv ? ? ? v ,又 a ? ?ky dt dy dt dy
vdv ? ?kydy , 积 分

所 以

? ky ? v
y

dv , 分 离 变 量 dy

?

v

v0

vdv ? ? (?ky)dy 所以 v2 ? v02 ? k ( y 2 ? y02 )
y0

1-15 火车在曲率半径 R ? 400m 的圆弧轨道上行驶。已知火车的切向加速 度 at ? 0.2m / s2 ,求火车的瞬时速率为 10 m / s 时的法向加速度和加速度。

解:法向加速度 an ? 加速度大小 a ?

v2

?

?

102 ? 0.25m / s 2 400

an 2 ? at 2 ? 0.252 ? 0.22 ? 0.32m / s 2

? ? arctan

an 0.25 ? arctan ? 51.36? at 0.2

1-16 一物体做如附图所示的抛体运动,测得轨道上 A 点处,速 度的大小为 v ,其方向与水*线的夹角为 30 ? ,求点 A 的切向加速度和该处的曲率半径。





a? ? ? g sin30? ? ?0.5g ; an ? g cos30? ?

v2 v2 2 3v 2 3 g ;? ? ? ? 2 an 3g 3 g 2

1-17 一火炮在原点处以仰角 ?1 ? 30? 、初速 v10 ? 100m / s 发射一枚炮弹。另有一门位于

x0 ? 60m 处的火炮同时以初速 v20 ? 80m / s 发射另一枚炮弹,其仰角 ?2 为何值时,能与第
6

一枚炮弹在空中相碰?相碰时间和位置如何(忽略空气阻力的影响)? 解: 建立如图坐标,设经过时间 t 在 x 处两只 炮弹相碰,分别讨论两炮弹的抛体运动,相遇 时有: 弹 1: x ? v10 cos?1t (1)

y? v ? 1t ? 1 0s i n
弹 2: x ? x0 ? v20 cos?2t

1 2 gt 2

(2) (3)

y? v ? 2t ? 2 0s i n

1 2 gt 2

(4)

由 (1) (2) (3) (4) , 解得:sin ? 2 ?

5 , ? ? 38.682? ,t ? 2.48s ,x ? 214.7m ,y ? 93.86m 8

或者 ? ? 141.32? , t ? 0.403s , x ? 34.87 m , y ? 19.34m 。 (答案里少这种情况)

7




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