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第01章质点运动学*题解

第1章
a=
2 vt v0 40 0 = = 20m / s t 2

质点运动学

1.1 一物体从静止开始, 在 2s 内被匀加速到 40m/s,物体的加速度为多少?在 2s 内物体运动了多大距离? 解:物体的加速度为

物体在 2s 内运动的距离为

x=

2 vt2 v0 402 02 = = 40m 2a 2 × 20

1.4 作直线运动的质点的加速度为 a = 4 + 3t (SI). 初始条件为 t = 0 时, x = 5 m, v = 0 . 求质点在 t = 10 s 时的速度和位置. 解:

a=

dv dt
t 0

dv = adt




v

0

vdv = ∫ ( 4 + 3t )dt

3 v = 4t + t 2 2 dx v= dx = vdt dt




x

5

t 3 dx = ∫ 4t + t 2 dt 0 2

1 1 x 5 = 2t 2 + t 3 x = 2t 2 + t 3 + 5 2 2 当 t = 10 s 时 3 3 v = 4t + t 2 = 4 ×10 + × 10 2 = 40 + 150 = 190m / s 2 2 1 1 x = 2t 2 + t 3 + 5 = 2 × 102 + × 103 + 5 = 200 + 500 + 5 = 705m 2 2
1.5 质点沿 x 轴作直线运动, 加速度和位置的关系为 a = 2 + 6 x (SI). 求质点在任意位置时的速度. 已
2

知质点在 x = 0 时, 速度为 10 m/s. 解

a=

dv dv dx dv = =v dt dx dt dx

vdv = adx
两边积分



v

10

vdv = ∫ adx
0

x

∴ x = 0 时, v = 10m / s

1 2 1 v × 102 = 2 x + 2 x3 2 2 v 2 = 4 x + 4 x 3 + 100

又因为 ∵ a > 0,∴ v > 0

v = 4 x + 4 x3 + 100 = 2 x + x3 + 25
1

1.7 长为 l 的细杆绕通过其一端的水*轴在竖直*面内自由转动. 当杆与竖直方向的夹角为 θ 时, 它的角 加速度为 β = 线速度大小. 解: 由于

3g π sin θ . 求: (1)杆由静止 θ = 0 转至 θ = 时, 杆的角速度. (2)杆的另一个端点的 2l 2

β=

3g sin a 2l d ω d ω dθ dω β= = =ω dt dθ dt dθ

π π 1 2 3g 3g 3g 2 ∫ β dθ = ∫ ω dω 2 ω = ∫0 2l sin adθ = 2l cos a / 02 = 2l

ω=

3g l

杆的另一端的线速度 v = lω = 3 gl 1.10 当船离岸边距离为 s 时, 试 1.10 在离水面高度为 h 的岸边, 有人用绳子拉船靠岸, 收绳速率是恒定的 v0 , 求船的速率与加速度. 解法一:小船的运动可以分解为径向和横向两个方向的运动,而其实际运动沿水*方向。对于速度,如图: 法一:

对于加速度, 其径向分量包括两个来源: 径向速度改变; h (1) 速度产生的向心加速度。此处,前者为 0,后者为 uθ / L ,
2

v0 = ur = u cos θ 故: u = v0 / cos θ 。 又可得: uθ = u sin θ = v0 tan θ 。

L
u

θ

ur = v0 uθ

(2) 横向 故

ar =

2 uθ2 v0 tan 2 θ sin θ = L h

而合加速度只能沿水*方向,故: a =

v 2 tan 3 θ ar = 0 。 cos θ h

解法二: v0 =

dl dt

u=

dx dt dl = v0 dt

其中 l 段因 v0 拖动,随时间增长而变短,其变化率

x2 = l 2 h2 2 x

dx dl dx l dl = 2l = dt dt dt x dt v l u = v0 = 0 x cos θ

l d v0 v v v du x a= = = 0 ( l 2 x 2 ) = 0 h 2 = 0 tan 3 θ 3 3 dt dt x x h
1.11 质点的运动方程为 r ( t ) = i + 4t j + tk (SI). 求质点的速度、加速度和轨道方程.
2

解:质点的速度为
2

v (t ) =
质点的加速度

dr (t ) = 8tj + k dt

a=
质点的参数方程为

dv (t ) =8j dt

x = 1, y = 4t 2 , z = t

所以轨迹方程

x = 1 2 4 z = y

1.14 汽车以 5m/s 的速度由东向西行驶, 司机看见雨滴垂直下落. 当汽车速度增至 10m/s 时, 看见雨 滴与他前进方向成 120 角下落.求雨滴对地的速度. 解:如图所示 北 北
0

v雨对地
西

v雨对车


v雨对地
西

v′雨对车

v 车对地


v′车对地




v雨对地 = v雨对车 + v车对地


v雨对地 = v′雨对车 + v′车对地

v雨对地 = 10m / s
南偏西 30
0

3




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