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2.1.1高一数学指数与指数幂的运算第二课时[PPT课件白板课件]人教版高一数学必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)

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2.1.1 指数与指数幂的运算(第2课时 指数幂及运算)

1.根式的定义:式子n a叫做根式,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数.
2.根式的性质:

n (1)(

a)n=a(n>1



n∈N*);

n (2)

an=???a±,a.nn为为偶奇数数时时

1.分数指数幂的意义 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是:
amn =n am(a>0,m,n∈N*,且 n>1). (2)规定正数的负分数指数幂的意义是: a-mn = 1m(a>0,m,n∈N*,且 n>1);
an (3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数 幂无意义.

2.有理指数幂的运算性质 (1)ar·as=ar+s (a>0,r,s∈Q); (2)(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q); (3)(ab)r=(arbr) >0,b>0,r∈Q). 3.无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有 理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.

1.a48=a12成立吗? 【提示】 不一定.当 a≥0 时,a48=a12,当 a<0, a12无意义,则 a48≠a12. 2.分数指数幂与整数指数幂的区别与联系是什 么?

【提示】 分数指数幂 amn 和整数指数幂 an 都是有理数指数幂,都可以利用有理数指数幂的

运算性质进行计算,这是它们相同的部分.但整

数指数幂表示的是相同因式的连乘积,而分数指

数幂 amn 不可理解为mn 个 a 相乘,它是根式的一种

新的写法,规定:amn =n am(a>0,m,n∈N*,且

n>1),a-mn =a1mn =n

1 (a>0,m,n∈N*,且 am

n>1),

在这样的规定下,根式与分数指数幂表示相同意

义的量,它们只是形式不同而已.

用分数指数幂的形式表示下列各式.(其中 a>0)

(1)3 a·4 a;

(2)a3·3 a2;

(3) a3· a;

(4)(3 a)2· ab3.

【思路点拨】 将根式化为分数指数幂形式―→

根据分数指数幂的运算性质化简―→结论

【解析】 (1)3 a·4 a=a13·a14=a13+14=a172; (2)a3·3 a2=a3·a23=a3+23=a131. (3) a3· a=(a3·a12)12=a74. (4)(3 a)2· ab3=????a13????2·(ab3)12=a23·a12b32=a23+12 b32=a76b32.

(1)此类问题应熟练应用 amn =n am(a>0,m, n∈N*,且 n>1).当所求根式含有多重根号时, 要搞清被开方数,由里向外用分数指数幂写出, 然后再用性质进行化简.
(2)分数指数幂是根式的另一种写法,分数指 数幂与根式可以相互转化.

1.用分数指数幂表示下列各式. (1) a3 (a>0);
3 a2·3 a4 a2 b3 4 a
(2) b · a · b3.
【解析】 (1)原式=a3·a-23·a-43=a3-23-43=a
(2)原式=????ab2×ba1232×ab1434????12
=????a2-12+41b32-1-34????12=????a74b-14????12=a78b-18.

计算

(1)(-1.8)0+????32????-2·3

????338????2-

1+ 0.01

93;

(2)(0.027)23+????12275????-13-????279????0.5 【思路点拨】 负指化正―→根式化分数指

数―→用指数幂的运算性质

【解析】 (1)原式=1+????32????-2·????287????23-0.01-12+932

=1+????23????-2·????23????2-10+27=1+1-10+27=19. (2)原式=[(0.3)3]23+????5333????-13-????295????12

=0.32+????31??3??1-????????53????2????12=1090+53-53=1900.

5?? ?
?? ?

??3

进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质, 并灵活运用.一般地进行指数幂运算时,化负指数为正指数、化 根式为分数指数幂、化小数为分数运算,同时还要注意运算顺序 问题.

2.计算:

(1)312-2716+1634-2×????8-23????-1+5 2×????4-25????-1;

(2)????31????-12+ 3·?? 3- 2??-1-????11674????14-????333????-34-????13????

-1;

【解析】

(1) 原 式 =

3

1 2

-(33)

1 6

+(24)

3 4



2×(23)23+215×245

= 3-312+23-2×22+215+45

= 3- 3+8-8+2=2.

(2)原式

=(3-1)-12+312·

1 3-

2-????6841????14-????3313????

-34-3 =312+312( 3+ 2)-????2364????14-33--3414-3

=312+3+ 6- 33-312-3 22



6-3

4

2 .

已知x1/2+x-1/2=4,求下列各式的值. (1)x+x-1;(2)x2+x-2 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息: ①x+x-=4 ②巧妙利用xn·x-n=x0=1的特点,进行替换运算,可求解.解 答本题可从总体上寻求各式与条件x1/2+x-1/2的联系,进而整体代 入求值.

【解析】 (1)将x1/2+x-1/2=4两边*方得,x+x-1+2=16 ∴x+x-1=14 (2)将x+x-1=14两边*方得x2+x-2+2=142 ∴x2+x-2=194.

条件求值是代数式求值中的常见题型,一般要结合已知条件 先化简再求值,另外要特别注意条件的应用,如条件中的隐含条 件,整体代入等,可以简化解题过程.本题若通过x1/2+x-1/2 =4解出a的值代入求值则非常复杂.
解决此类问题的一般步骤是

3.若将本例中条件改为x2+x-2=4,怎样求x+x-1的值.
【解析】 ∵x2+x-2=4 ∴(x+x-1)2-2=4 ∴(x+x-1)2=6 ∴x+x-1=± 6.

1.正确理解分数指数幂概念 对于分数指数幂概念的理解应注意以下问题: (1)分数指数幂与根式意义是相同的,只是在形式上不同,分 数指数幂 amn 不能理解为mn 个 a 相乘; (2)零的正分数指数幂为零,零的负分数指数幂没有意义. (3)由分数指数幂 amn 的定义知 a≤0 时,amn 可能会无意义,而 有意义时可借助定义将底数化为正数,从而利用有理指数幂 的性质运算.

化简(1-a)[(a-1)-2(-a)12]12. 【错解】 (1-a)[(a-1)-2(-a)12]12 =(1-a)(a-1)-1·(-a)14=-(-a)14. 【错因】 错解的原因在于忽略了题中有(- a)12,即相当于告知-a≥0 故 a≤0,这样,[(a- 1)-2]12≠(a-1)-1.

【正解】 由(-a)12知-a≥0,故 a-1<0, ∴(1-a)[(a-1)-2·(-a)12]12 =(1-a)(1-a)-1(-a)14=(-a)14.

敬请批评指正
—2017年—
23

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